Vector unitario, Coordenadas ortogonales, Coordenadas curvilíneas


En matemáticas, un vector unitario en un espacio vectorial normado es un vector cuya longitud es de 1. Un vector unitario es a menudo denotado por una letra minúscula con un "sombrero", así:.

En el espacio euclidiano, el producto escalar de dos vectores unitarios es simplemente el coseno del ángulo entre ellos. Esto se deduce de la fórmula para el producto de punto, puesto que las longitudes son ambos 1.

El vector normalizado o versor de un vector u distinto de cero es el vector unitario codireccional con u, es decir,

donde | | u | | es la norma de u. El vector normalizado término se utiliza a veces como sinónimo de unidad de vector.

Los elementos de una base generalmente se eligen para que sean vectores unitarios. Cada vector en el espacio puede ser escrita como una combinación lineal de los vectores unitarios. Las bases más comúnmente encontrados son coordenadas cartesianas, polares y esférica. Cada una utiliza diferentes vectores de la unidad de acuerdo con la simetría del sistema de coordenadas. Dado que se encuentran estos sistemas en muchos contextos diferentes, no es raro encontrar diferentes convenciones de nomenclatura que los utilizados aquí.

Coordenadas ortogonales

Coordenadas cartesianas

En el sistema de coordenadas cartesianas de tres dimensiones, los vectores unitarios codireccionales con la X, Y, y Z se refieren a veces como versors del sistema de coordenadas.

Estos normalmente se escriben en notación vector normal en lugar de la notación circunfleja, y en la mayoría de los contextos se puede suponer que i, j, yk, son versors de un sistema de coordenadas cartesianas. Las notaciones,,, o, con o sin sombrero/circunfleja, también se utilizan, sobre todo en contextos donde i, j, k podría dar lugar a confusión con otra cantidad. Estos vectores representan un ejemplo de una base estándar.

Cuando un vector unidad en el espacio se expresa, con la notación cartesiana, como una combinación lineal de i, j, k, sus tres componentes escalares puede ser referido como cosenos de dirección. El valor de cada componente es igual al coseno del ángulo formado por el vector unitario con el vector de la base respectiva. Este es uno de los métodos utilizados para describir la orientación de una línea recta, segmento de línea recta, eje orientado, o segmento de eje orientado.

Coordenadas cilíndricas

Los vectores unitarios apropiados a la simetría cilíndrica son:, la distancia desde el eje de simetría;, el ángulo medido en sentido antihorario desde el eje x positivo, y. Están relacionados con la base cartesiana,, por:

 ==

Es importante observar que y son funciones de, y no son constantes en la dirección. Cuando la diferenciación o integración en coordenadas cilíndricas, estos vectores unitarios mismos también se pueden operar en. Para una descripción más completa, consulte la matriz jacobiana. Los derivados son con respecto a:

Coordenadas esféricas

Los vectores unitarios apropiados a la simetría esférica son:, la dirección en la que la distancia radial de los incrementos de origen;, la dirección en la que el ángulo en el plano xy en sentido antihorario desde el eje x positivo está aumentando, y, la dirección en la que el ángulo desde el eje z positivo está aumentando. Para minimizar la degeneración, el ángulo polar se suele tomar. Es especialmente importante tener en cuenta el contexto de cualquier triplete ordenado por escrito en coordenadas esféricas, como las funciones de y, a menudo se invierten. En este caso, se utiliza la convención americana "física". Esto deja el ángulo azimutal definido el mismo que en coordenadas cilíndricas. Las relaciones cartesianas son:

Los vectores unitarios esféricas dependen de ambos y, por consiguiente, hay 5 posibles derivados distintos de cero. Para una descripción más completa, consulte Jacobiano. Los derivados no nulos son los siguientes:

Vectores unitarios generales

Temas generales comunes de los vectores unitarios se producen a lo largo de la física y la geometría:

Coordenadas curvilíneas

En general, un sistema de coordenadas se puede especificarse de forma única mediante un número de vectores unitarios linealmente independientes iguales a los grados de libertad del espacio. Para ordinaria 3-espacio, estos vectores pueden ser denotados. Casi siempre es conveniente definir el sistema sea ortonormal y diestros:

donde dij es la delta de Kronecker y es el símbolo de Levi-Civita.